역균형화(counterbalancing)-1. 집단 간 역균형화

지난 포스팅에서 참가자 내 설계의 단점으로 순서효과나 이월효과 등이 있다고 말을 하였고,

순서효과나 이월효과의 발생을 막기 위해 역균형화를 사용한다고 했다.

2023.04.10 - [실험(심리학)/실험 설계] - 참가자 간 설계(between-subject) vs. 참가자 내 설계(within-subject)

참가자 간 설계(between-subject) vs. 참가자 내 설계(within-subject)

 

역균형화는 이월효과나 순서효과를 통제하기 위해

순서 효과가 나타날 수 있는 모든 처치에 걸쳐 동등하게 작용하도록 하는 실험 설계로,

실험 조건들의 순서를 체계적으로 변동시키는 방법이다.

 

●역균형화의 가정

역균형화를 사용할 때는 연구자의 실험에 순서효과가 존재한다는 것과

이를 통제하거나 무선화하여 없앨 수 없다는 것을 가정한다.

 

역균형화는 크게 집단 간 방법과 집단 내 방법이 있다.

이번 포스팅에서는 집단 간 역균형화를 다룬다.

 

●집단 간 역균형화(inter-subject counterbalancing)

이 방법은 제시 순서를 참가자 간 변인으로 해서 한 집단은 AB순서로, 다른 집단은 BA 순서로 제시하는 방법이다.

●완전 역균형화(complete counterbalancing)

완전 역균형화는 독립변인의 수준이 n개 있을 때 만들 수 있는 모든 순서를 사용하지만,

각 참가자는 모든 순서 중 하나에만 할당되는 방법이다.

 

예를 들어 한 독립변인이 A 수준과 B 수준만을 갖는다면,

만들 수 있는 조합은 AB와 BA이다.

그럼 참가자 1은 AB에, 참가자 2는 BA 순서로 조건에 노출될 것이다.

 

만약 한 독립변인이 A수준, B수준, C수준을 갖는다면

만들 수 있는 조합은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA이다.

그럼 참가자 1은 ABC, 참가자 2는 ACB, 참가자 3은 BAC, 참가자 4는 BCA, 참가자 5는 CAB, 참가자 6은 CBA 순서에 할당된다.

 

여기서 알 수 있는 것은 독립변인의 수준이 n개일 때 만들어지는 순서는 n!라는 것이다.

따라서 만약 한 독립변인이 4개의 수준을 갖는다면 4!, 즉 24개의 순서를 갖게 되어 적어도 24명의 참가자가 필요하다.

 

일반적으로는 독립변인의 수준이 5개를 넘어가면 연구에 필요한 참가자의 수가 기하급수적으로 늘어나기 때문에

5이상이면 완전 역균형화를 설계하기 힘들다(5! = 120 → 적어도 120명의 참가자 필요).

 

●부분 역균형화(partial counterbalancing)

부분 역균형화는 독립변인의 수준이 너무 많거나 한 조건 당 시행(trial)이 너무 많을 때 사용하는 방법으로,

가능한 순서들 중 일부만을 사용하거나 한 참가자가 둘 이상의 순서에 노출된다.

 

부분 역균형화에는 크게 무선화된 부분 역균형화, 라틴 방진 역균형화, balanced 라틴 방진 역균형화 방법이 있다.

 

 

●무선화된 부분 역균형화(randomized partial counterbalancing)

무선화된 부분 역균형화에서는 각 참가자가 둘 이상의 순서에 할당된다.

이 방법은 조건의 수가 참가자의 수보다 많을 때 사용된다.

 

 

●라틴 방진 역균형화(Latin square counterbalancing)

라틴 방진 역균형화는 고대 로마 퍼즐에서 비롯된 말인데,

이 퍼즐에서는 글자나 숫자가 각 행과 열에 한 번씩만 나타나도록 배열해야 했다.

 

수학적으로 Latin square는 정사각형 행렬 중 특정 행이나 열에 중복된 요소가 존재하지 않으면서

모든 요소가 한 번씩 나타나는 행렬인데,

고대 로마 퍼즐에서와 동일하게 정사각 행렬을 구성하는 요소들이 행과 열에 한 번씩만 나타나야 한다는 공통점이 있다.

정사각 행렬이란 행과 열의 개수가 동일한 행렬을 말한다.

 

여기서 알 수 있듯이 라틴 방진 '역균형법'에서는 각 조건이 정사각행렬의 각 위치에 한 번씩만 나타난다.

 

예를 들어, 독립변인이 A, B, C, D, E라는 다섯 수준을 갖는 참가자 내 변인인 어떤 연구를 생각해보자.

이 독립변인은 참가자 내 변인이기 때문에 각 참가자는 A, B, C, D, E라는 다섯 수준에 모두 노출된다.

완전 역균형화에서는 5!, 즉 120개의 순서 조건이 만들어질 것이다.

하지만 라틴 방진을 만듦으로써 우리는 이 120개의 조건 중에서

편향되지 않은(사실 편향되지 않다고 가정한) 하위 세트를 선택하게 된다.

 

예를 들어 아래와 같은 라틴 방진을 만들 수 있을 것이다.

A B C D E

B C D E A

C D E A B     

D E A B C

E A B C D

→ 해당 행렬은 행(가로)의 수 와 열(세로)의 수가 5개로 동일하고,

    행렬을 구성하는 요소(A, B, C, D, E)가 각 행과 열에 한 번씩만 나타나서 라틴 방진의 조건을 만족한다.

 

여기서 한 가지 유추할 수 있는 것은 적어도 독립변인의 수(여기서는 5개)만큼의 연구 참가자가 필요하다는 것이다.

참가자가 5명이라고 가정한다면 어떤 참가자는 ABCDE 순서로, 어떤 참가자는 BCDEA, 다른 참가자는 CDEAB, 또 다른 참가자는 DEABC, 마지막 참가자는 EABCD 순서로 독립변인의 수준에 노출될 것이다.

 

*더 자세한 사항은 아래 사이트를 참고하면 좋을 것 같다.

 해당 사이트에는 라틴 방진 역균형화에 기저하는 가정과 라틴 방진을 만드는 방법들도 자세히 나와있다.

https://graziano-raulin.com/supplements/latinsquare.htm

 

●balanced 라틴 방진 역균형화(balanced latin square counterbalancing)

balanced 라틴 방진 역균형화는 위에서 다룬 라틴 방진 역균형화의 특별한 형태로,

한 조건은 다른 조건의 앞 또는 뒤에 딱 한 번만 온다.

 

이는 독립변인의 조건이 짝수 개일 때만 가능한 역균형화 방법인데,

말로 하면 헷갈리니까 예시를 보자.

 

독립변인이 A, B, C, D라는 네 수준을 갖는다고 가정하자.

첫 번째 순서는 A, B, C, D로 정해졌다.

한 조건이 다른 조건의 앞(또는 뒤)에 딱 한 번만 온다고 했는데 위의 순서를 보면 A는 B앞에 한 번 배치되었다.

그러니 이제 A는 B앞에 배치될 수 없다.

따라서 두 번째 순서로는 B, D, A, C를 생각할 수 있다.

그럼 이제 A는 B와 C 앞에 한 번씩 배치되었으므로, D 앞에만 배치되거나 맨 오른쪽에 배치되어야 할 것이다.

따라서 세 번째 순서와 네 번째 순서는 각각 D, C, B, A와 C, A, D, B가 될 수 있을 것이다.

 

이렇게 만들어진 라틴 방진을 정리하면,

A B C D

B D A C

D C B A

C A D B 인데,

마찬가지로 행과 열의 개수가 동일하고, 행렬을 구성하는 요소가 행과 열에 한 번씩만 나타나는 것을 확인할 수 있다.

 

*아래 사이트를 이용하면 balanced 라틴 방진을 생성해볼 수 있다.

https://cs.uwaterloo.ca/~dmasson/tools/latin_square/

 

●무선화된 구획 설계(randomized block design)

무선화된 구획 설계는 집단 내 역균형화에서 주로 다루어지는데

집단 간 역균형화로도 사용될 수 있어서 미리 다뤄보고자 한다.

 

예전 포스팅에서 표본이 전집을 대표할 수 있게 하기 위해, 무선 표집과 무선 할당이 중요하다는 이야기를 했다(아래 참고).

2021.11.29 - [통계 공부/기본 용어] - 무선표집과 무선할당(random assignment)

무선표집과 무선할당(random assignment)

 

그런데 무선할당을 하더라도 우연히 독립변인의 한 수준에 할당된 참가자들의 속성과

다른 수준에 할당된 참가자들의 속성이 다를 가능성을 배제할 수 없다.

 

예를 들어, 어떤 독립변인이 처치 조건과 통제 조건으로 구성된다고 가정하자.

이 때, 키는 이 연구의 목적과 관련이 없지만 해당 독립변인과 상관이 높은 가외변인이다.

그런데 해당 연구에서 참가자를 무선 할당했더니 처치 조건에 할당된 참가자는 대부분 키가 170cm이상이고,

통제 조건에 할당된 참가자는 대부분 키가 170cm 미만인 것이다.

 

이렇게 되면 키의 영향이 결과에 혼입되어,

결과가 독립변인에 의해 나타난 것인지 키에 의해 나타난 것인지 분리할 수 없게 된다.

 

따라서 부득이하게 가외변인인 키를 제 2의 독립변인처럼 다루어,

각각의 구획을 만들고 그 구획에 참가자를 무선할당하는 방법이 무선화된 구획 설계이다.

 

이 예에서는 구획이 170cm 이상 구획과 170cm 미만 구획이 될 것이다.

이렇게 구획을 나누고 각 구획 내에서 처치 조건과 통제 조건을 무선적으로 할당하는 방법이 무선화된 구획 설계이다.

이를 그림으로 나타내면 아래와 같은데, 여기서 각 개체는 각각의 참가자를 나타낸다.

*사실 무선화된 구획 설계는 집단 내 역균형화 설계법으로 더 자주 설명된다.

  이는 다음 포스팅에서 다룰 것!

*더 자세한 내용을 알고 싶다면, 아래 사이트 참고!

https://www.studysmarter.co.uk/explanations/math/statistics/randomized-block-design/

 

 

**혹시나 틀린 내용이 있다면 확인하는 대로 수정할 테니 댓글 부탁드린다!